無次元数の一つであるレイノルズ数は、流体の挙動パターンを予測する上で重要な役割を果たします。レイノルズ数は、流体の流れが層流か乱流かを決定するために使用されます。レイノルズ数は、すべての粘性流れにおける主要な制御パラメータの1つであり、数値モデルは事前に計算されたレイノルズ数に従って選択されます。

レイノルズ数は、流体の静特性と動特性の両方から構成されますが、動的条件を調査するため、流動特性として指定されます。技術的に言えば、レイノルズ数は慣性力と粘性力の比です。この比率は、層流と乱流を分類するのに役立ちます。

層流とは

流体の流れは層流と乱流に分類されます。層流とは、流体が平行な層状に流れることで、層と層の間に乱れはありません。層流では、流体層は平行に滑り、流れに垂直な渦や渦…

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乱流とは

流体力学において乱流とは、渦や旋回、流れの不安定性が発生する不規則な流れを指します。乱流は、運動量の大きい対流と運動量の小さい拡散によって支配されます。層流と…

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慣性力は物体の速度変化に抵抗する力です。乱流ではこれらの力が支配的です。流れに対する抵抗として定義される粘性力が支配的であれば、その流れは層流です。レイノルズ数は以下のように指定できます:

$$ Re=\frac{inertial~force}{viscous~force}=\frac{fluid~and~flow~properties}{fluid~properties} \tag{1}$$

例えば、静止面に置かれたコップ一杯の水は、重力以外のいかなる力にも関係なく静止しており、流れの特性は無視されます。したがって、式(1)の分子は "0 "となります。その結果、静止している流体のReから独立することになります。一方、水で満たされたグラスを傾けて水をこぼすと、レイノルズ数を推定して図1に示すような流体の流れを予測することができます。

図1: 水の入ったグラス a)静止状態、b)流動状態。流体の流れは不均衡な力によって発生するため、レイノルズ数が定量化できる流れの特性が定義されます。

沿革

流体の流れを予測する無次元数の理論は、最初にジョージ・ストークス卿(1819-1903)によって導入されました。ストークスは、慣性項を無視して球体の抗力を計算しようとしました。ストークスはまた、クロード・ルイ・ナヴィエ(1785-1836)の研究をさらに進め、1851年に粘性項を追加して、ナヴィエ・ストークス方程式(Navier-Stokes equation)\(^1\)と呼ばれる運動方程式を導出しました。

ナビエ・ストークス（Navier-Stokes / NS）方程式とは

ナビエ・ストークス（Navier-Stokes/NS）方程式は、流体の運動を支配する偏微分方程式です。この方程式は流体力学の基本方程式です。 物理領域における流体の運動は、様々…

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ストークス流とは、ストークスの粘性流体流に対するアプローチにちなんで名付けられた数学モデルで、Reが非常に小さいためゼロと推定されます。様々な科学者が、ストークス以降の流体運動の特性を調べるために研究を行いました。ナビエ・ストークス方程式は流体の流れを徹底的に解析していましたが、レイノルズ数が流体の動きを容易に予測できるような任意の流れに適用することは非常に困難でした。

1883年、アイルランドの科学者Osborne Reynoldsは、流速、密度、動的粘性、流体の特性などの静的および動的特性に基づいて流体の流れを予測する無次元数を発見しました\(^2\) 。彼は、流速と流体の挙動との関係を調べるために実験的研究を行いました。レイノルズは、ガラス管内を流れる流体の動きを可視化するために、断面積の中央で透明な水の中に放出される染料水を用いて実験方法(図2a)を確立しました(図2b)。

図2: a) オズボーン・レイノルズによって確立された実験セットアップ; b) 層流と乱流の可視化実験

無次元数に関するオズボーン・レイノルズの研究「平行流路における水の運動が直行か蛇行かを決定する状況の実験的調査」は、"Philosophical Transactions of the Royal Society "に掲載されました。その論文によると、レイノルズが発見した無次元数は、パイプ内の水流から翼形上の気流まで、広い範囲の流体流れを予見するのに適していたとのことです\(^2\) 。

図3: オズボーン・レイノルズ (1842-1912)

この無次元数は、ドイツの物理学者アーノルド・ゾンマーフェルド(1868 - 1951)がローマで開催された第4回国際数学者会議(1908年)で発表するまで、パラメータ :math:'R' と呼ばれていました。Sommerfeldが使用した用語は、\(^3\) 以来、世界中で使用されています。

導出

無次元レイノルズ数は、流体の流れが層流になるか乱流になるかを、流速、長さ、粘度、および流れのタイプなどの複数の特性に基づいて予測します。レイノルズ数は、慣性力と粘性力の比として表され、単位とパラメータで説明すると次のようになります:

$$ Re=\frac{\rho VL}{\mu}=\frac{VL}{\nu} \tag{2}$$

$$ Re=\frac{F_{inertia}}{F_{viscous}}=\frac{\frac{kg}{m^3}\times{\frac{m}{s}}\times{m}}{Pa\times{s}}=\frac{F}{F} \tag{3}$$

ここで、\(\rho~(\frac{kg}{m^3})\) は流体の密度、\(V~(\frac{m}{s^2})\) は流れの特性速度、\(L~(m)\) は流れの特性長さスケールです。式(3)は、Reが無次元として規定される単位の導出です。レイノルズ数の変化は式(2)で示されます。\(\mu (Pa\times{s})\) は流体の粘性係数、\(\nu~(\frac{m^2}{s})\) は動粘度です。動粘度と動粘度の推移は以下の通りです:

$$ \nu=\frac{\mu}{\rho} \tag{4}$$

レイノルズ数

レイノルズ数は、密度の変化(圧縮性)、粘度の変化(非ニュートン性)、内部流れか外部流れかなど、流体の流れの仕様によって適用できる値が異なります。臨界レイノルズ数は、流れの種類や形状によって多様化する領域間の遷移を規定する値の表現です。

パイプ内の乱流の臨界レイノルズ数は2000ですが、平板上の乱流の臨界レイノルズ数は、流速が自由流速の場合、\(10^5\) から\(10^6\) の範囲にあります。\(^4\)

レイノルズ数は、流体がニュートン流である場合の流れの粘性挙動も予測します。したがって、不正確な予測を避けるためには、物理的なケースを認識することが非常に重要です。遷移領域や内部・外部流れは、レイノルズ数を総合的に調べるための基本的な分野です。

ニュートン流体とは、粘性が一定の流体です。温度が同じであれば、ニュートン流体にいくら応力を加えても粘度は変わりません。水、アルコール、鉱油などがその例です。

層流から乱流への遷移

流体の流れは、2つの異なる領域で指定できます: 層流と乱流です。両領域間の遷移は、流体と流れの特性の両方によって左右される重要な問題です。前述のように、臨界レイノルズ数は内部レイノルズ数と外部レイノルズ数に分類されます。しかし、層流と乱流の遷移に関するレイノルズ数は、内部流れについては合理的に定義できますが、外部流れについては定義が困難です。

内部流れ

内部流れとしてのパイプ内の流体の流れは、レイノルズによって図2bのように説明されています。内部流れの臨界レイノルズ数は表1の通りです。\(4\)

開水路流れ、物体内の流体流れ、および管摩擦を伴う流れは、レイノルズ数が特性長\(L\) ではなく、水力直径\(D\) に基づいて予測される内部流れです。パイプが円筒形の場合、水力直径\(D\) は円筒の実際の直径として受け入れられ、レイノルズ数は以下のようになります:

$$ Re=\frac{F_{inertia}}{F_{viscous}}=\frac{\rho VD_H}{\mu} \tag{5}$$

パイプやダクトの形状はさまざまです(正方形、長方形など)。このような場合、水力直径は以下のように決定されます:

$$ D_H=\frac{4A}{P} \tag{6}$$

ここで、\(A\) は断面積、\(P\) は接液周囲長。

粗さによる配管表面の摩擦は、層流から乱流への移行とエネルギー損失の原因となるため、考慮すべき有効なパラメータです。「Moody線図」(図4)は、粗さが有効な配管内の流体流れを予測するためにLewis Ferry Moody(1944)によって作成されました。これは、配管の内面全体の粗さによる摩擦係数でエネルギー損失を求める実用的な方法です。表面粗さのあるパイプの臨界レイノルズ数は、\(^2\) を超える領域です。

下のチャートでは、左側に摩擦係数、右側にパイプの相対的な粗さの目盛りがあり、下側に対数目盛りがあります。

外部流れ

主流が明確な境界を持たない外部流れは、遷移領域を持つ内部流れと似ています。平板、円柱、球体などの物体上の流れは、流れ全体の速度の影響を調べるために使用される標準的なケースです。1914年、ドイツの科学者Ludwig Prandtlは、境界層を発見しました。境界層は部分的にレイノルズ数の関数であり、層流、乱流、さらに遷移領域を通して表面を覆います\(^5\) 。平坦な表面上の流れを図5に示します。\(x_c\) は遷移の臨界長、\(L\) はプレートの全長、\(u\) は自由な流れの速度です。

図 5: 平板上の流れにおける境界層の遷移と遷移臨界長

一般に、境界層は平板上の\(x\) 方向への移動に伴って拡張し、最終的にはレイノルズ数が同時に増加する不安定な状態になります。平板表面上の流れに対する臨界レイノルズ数は

$$ Re_{critical}=\frac{\rho Vx}{\mu}≥3\times{10^5}~to~3\times{10^6} \tag{7}$$

であり、これは表面上の流れの均一性に依存します。しかし、内部流れに対する臨界レイノルズ数は事実上規定されていますが、形状によって臨界レイノルズ数が異なる外部流れに対しては、それを検出することは困難です。さらに、内部流れとは別に、境界層分離は、物理的領域に関する数値モデルには曖昧さを含んでおり、これが外部流れにおける大きな課題となっております。\(^6\)

低レイノルズ数と高レイノルズ数

レイノルズ数は、ナビエ・ストークス方程式にも有効です。\(Re→∞\) では、ナビエ・ストークス方程式の粘性項が削除され、粘性の影響は無視できると’推定されます。オイラー方程式と呼ばれるナビエ・ストークス方程式の簡略形は、次のように指定できます:

$$ \frac{D\rho}{Dt}=-\rho∇\cdot {u} \tag{8}$$

$$ \frac{Du}{Dt}=-\frac{∇p}{\rho}+g \tag{9}$$

$$ \frac{De}{Dt}=-\frac{p}{\rho}∇\cdot {u} \tag{10}$$

ここで、\(\rho\) は密度、\(u\) は速度、\(p\) は圧力、\(g\) は重力加速度、\(e\) は比内部エネルギーです。\(^6\) 粘性効果は流体にとって比較的重要ですが、粘性流体モデルは、特定のケースにおいて実際のプロセスを予測するための信頼性の高い数学モデルを部分的に提供します。例えば、物体上の高速外部流れは、粘性流体アプローチが合理的に適合する、広く使用されている近似です。

\(Re≪1\) 、慣性効果は無視できると推定され、ナビエ・ストークス方程式の関連項は削除することができます。ナビエ・ストークス方程式の簡略形は、クリープ流れまたはストークス流れと呼ばれます:

$$ \mu∇^2u-∇p+f=0 \tag{11}$$

$$ ∇\cdot {u}=0 \tag{12}$$

ここで、\(∇p\) は圧力勾配、\(\mu\) は粘性係数、\(f\) は加えられる体 力です。 \(^6\) クリープ流れは、粘性効果が明確であるため、溶岩の流れ、微生物の遊泳、ポリマーの流れ、潤滑などを調べるのに適したアプローチです。

レイノルズ数の応用

流体の流れの数値解法は、実験的研究と関連する物理法則の両方から生成された数学モデルに依存しています。数値解析の重要なステップの1つは、物理領域をシミュレートする適切な数学モデルを決定することです。様々な状況下での流体の挙動を合理的に予測するために、レイノルズ数は流体解析の実質的な前提条件として受け入れられています。例えば、円形ダクト内のグリセリンの動きは、レイノルズ数によって次のように予測することができます: \(^7\)

$$ Re_{Glycerin}=\frac{\rho VD_H}{\mu} = \frac{1259\times{0.5}\times{0.05}}{0.950} ≈ 33.1 \tag{13}$$

ここで、グリセリンの流れは内部流れの臨界レイノルズ数に従って層流となります。

参考

1. Stokes, George. “On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums”. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 9, 1851, P. 8–106.
2. Reynolds, Osborne. “An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels”. Philosophical Transactions of the Royal Society. 174 (0), 1883, P. 935–982.
3. Sommerfeld, Arnold. “Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erkläerung der turbulenten Flüssigkeitsbewegüngen (A Contribution to Hydrodynamic Explanation of Turbulent Fluid Motions)”. International Congress of Mathematicians, 1908, P. 116–124.
4. White, Frank. Fluid Mechanics. 4th edition. McGraw-Hill Higher Education, 2002, ISBN: 0-07-228192-8.
5. https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Prandtl
6. Bird, R.B., Stewart, W.E. and Lightfoot, E.N. “Transport Phenomena”. 2th edition. John Wiley Sons, 2001, ISBN 0-471-41077-2.
7. http://www.engineeringtoolbox.com/liquids-densities-d_743.html