ブシネスク近似は、浮力によって駆動される流れを解くために使用され、ナビエ・ストークス方程式の完全な圧縮性定式化を解くよりも計算コストが低くなります。ブシネスク近似は、すべての非等温流に使用でき、重力が乗算される方程式項を除いて密度差を無視します。

これにより、慣性効果による密度差は完全に無視され、密度は温度のみの関数となります。ブシネスク近似は、一定の動粘性を仮定し、乱流と層流の両方に使用できます。

この近似は、温度に依存する密度の線形変化を仮定します。この近似は、周囲との温度差が比較的小さい自然対流の流れに対して非常に正確です。このため、比較的低温の電子機器の冷却、建物の空調、および熱的快適性に適しています。流れが高速(120 m/s以上)または高温(100 °C以上)になると、温度と密度の間の線形仮定がもはや有効でなくなるため、近似の精度が低下します。

CFDにおけるブシネスク近似

ブシネスク近似は、計算流体力学(CFD)の黎明期に、優れた密度近似を可能にしながら計算コストを削減できるという理由で人気を博しました。商用 CFD がまだ黎明期であった 1980 年代には、計算能力も現在の数分の一にすぎませんでした。ブシネスク近似を使用することで、計算の高速化を達成することができました。

過去数十年の間に計算能力が向上したため、ブシネスク近似の必要性は低下しましたが、現在でも多くの商用 CFD コードで使用されています。

ブシネスク近似理論

ブシネスク近似では、密度変動は参照密度、温度、熱膨張係数の関数式となります。

$$ \rho = \rho_0 – \alpha \rho_0(T-T_0) $$

ここで、

$\rho$ ：局所密度

$\rho_0$：参照密度

$\alpha$：熱膨張係数

$T$：局所温度

$T_0$：参照温度

を示します。

SimScaleでのブシネスク近似

SimScaleでは、以下の値を使用して空気を近似します:

$\rho_0$ = 1.196 kg/m3
$\alpha$ = 0.00343 1/K

$T_0$ = 295.15 K

したがって、次のようになります:

$$ \rho = (1.196 kg/m^3) – (0.00343 1/k) \times (1.196 kg/m^3) \times (T-295.15 K) $$

ブシネスク近似を用いた密度を温度の関数としてプロットし、実際の密度と比較することで、一般的な温度範囲における相関関係を理解することができます。

図1: 密度対温度をプロットしてブシネスク近似を示すグラフ

115℃まで、実験空気密度とブシネスク近似密度の誤差は10%未満であることがわかります。115℃を超える可能性のあるシミュレーションでは、圧縮性流れのモデルを使用することをお勧めします。こうすることで、空気は理想気体としてモデル化されます。理想気体の法則は、より高い温度と圧力の範囲で有効です。

例）電子基板の熱管理

SimScaleのチュートリアル「電子基板の熱管理」では、圧縮性流体ソルバーを用いて理想気体の状態方程式に則った計算を行っています。ここでは、ブシネスク近似が結果にどのように影響するかを理解するために、非圧縮性流体ソルバー&ブシネスク近似機能で計算を行いました。

図2: 圧縮性流体ソルバーで理想気体の状態方程式を用いた計算結果

図3: ブシネスク近似空気を使用した場合の計算結果

完全圧縮の実行結果とブシネスク近似を使用したシミュレーション結果を比較すると、結果はほとんど同等であることわかります。メインボードの大型チップの平均温度は、圧縮性ソルバーでは 59.6℃、ブシネスク近似では 58.6℃でした。同様に、ドメイン内の最高温度は、圧縮性ソルバーでは97.3 °C、ブシネスク近似では95.2 °Cです。

2024年4月26日