格子ボルツマン法とは

格子ボルツマン法(LBM)は計算流体力学(CFD)手法の1つです。

LBMは、複雑な流れシナリオや複雑な形状を扱うことができるため、その応用範囲は大きく広がっています。航空宇宙、自動車、建築など、さまざまな分野で使用されています。SimScaleのようなシミュレーションプラットフォームは、実用的な実世界での応用のためのツールを提供することで、LBMの応用をさらに拡大しています。

この記事では、LBMの世界に飛び込み、SimScaleのクラウドネイティブCFDシミュレーションプラットフォームを使用して、この数値手法の内部と外部、およびさまざまなアプリケーションでの適用方法を探ります。

図1: 都市のCADモデル上の速度の可視化

格子ボルツマン法(LBM)とは？

格子ボルツマン法(LBM)は、メゾスケールで定式化された運動方程式に基づいてマクロスケールで流体力学をシミュレーションする数値計算手法です[1]。より正確には、「単相および混相の流体流れをシミュレートし、さらに物理的な複雑さを組み込むための並列で効率的なアルゴリズム」[2]です。特に、複雑な境界条件や多相界面のモデリングに有効です。

LBMの歴史的背景

1980 年代に開発された格子ガスオートマトン(LGA) を起源とする格子ボルツマン法(LBM)は、従来の数値流体力学 (CFD)アプローチに対抗する強力な手法として登場しました。最先端で効率的なシミュレーション技術の必要性から生まれた LBM は、LGA の離散的なバイナリモデルから連続分布関数に基づくモデルへと移行しました。この転換により、精度が向上しただけでなく、適用範囲も広がりました。LBMの迅速な進化と多用途性により、特に複雑な形状や流動条件を扱う流体シミュレーションの主要な選択肢として、その地位は長年にわたって揺るぎないものとなっています。

格子ボルツマン法の別の解釈として、離散速度ボルツマン方程式で表すことができます。ボルツマン方程式は，オーストリアの物理学者であり哲学者でもあったルートヴィッヒ・エドゥアルド・ボルツマン(1844～1906) が導き出したもので、原子の特性を予測し、粘性、拡散、熱伝導率などの物質の物理特性を決定する統計力学の研究で有名です。

図2: ルートヴィヒ・エドゥアルト・ボルツマン

LBMと従来のCFDの比較

LBMの特徴は、格子のフレームワークと離散速度セットです。従来のCFDアプローチとは異なり、LBMは離散格子上で動作し、各ノードが計算ポイントとして立ち、粒子グループが特定の方向または速度で移動する分布関数を扱います。

LBMの応用について議論する際には、この手法の適応性と強みを強調することが不可欠です。多孔質材料のような複雑な形状を扱う際に限界が生じる可能性がある従来のナビエ・ストークス方程式ベースの手法とは異なり、LBMは輝きを放ちます。特に、LBMの本質的な離散的フレームワークは、複雑な構造内の流れを効率的に計算する能力を備えており、さまざまな複雑なシミュレーションに適した選択肢となっています。

格子ボルツマン法の数学的枠組み

流体力学は、その本質において、流体の挙動を記述し予測するための数学モデルに大きく依存しています。LBM も同様で、独自の洗練された数学的フレームワークを提供します。

離散速度

従来の流体力学の手法が空間と速度場を連続的なものとして扱うのに対し、LBMは離散化されたアプローチを採用しています。LBMでは、「格子」という用語は、各節点または点が特定の場所に対応する空間格子を指します。同様の意味で、速度は連続ではなく、一定の数に離散化されます。「n」は空間次元を表し、「m」は離散速度の数を表します。このような離散化の方法は、特に複雑な形状の場合、計算プロセスを単純化します。

衝突とストリーミング過程

LBMは、衝突とストリーミングという2つの重要なプロセスで基本的に動作します。衝突フェーズでは、各格子ノードの粒子分布が相互作用し、その結果、粒子速度が再シャッフルされ、質量と運動量の両方が保存されます。

続くストリーミングフェーズでは、衝突後の速度に導かれて粒子が隣のノードに進みます。このような局所的な相互作用(衝突)と包括的な相互作用(ストリーミング)を通して、LBMは流体挙動の複雑さを効果的に捉えます。

ボルツマン方程式の導出

LBMの中心となるのは、運動論におけるボルツマン方程式に由来する基礎方程式です。要するに、この方程式は衝突の影響を受けながら、粒子の分布関数(粒子の存在の可能性)の時間的な進化を調べるものです。離散化の要素や定義された衝突-流れ過程と統合された LBMは、流体力学の厳密かつ柔軟な描写を提供し、従来の CFD 手法の能力に匹敵するか、それを上回ることさえあります。

LBMの支配方程式は次のように表されます[3][4]．

$$ \frac{\partial{f_i}}{\partial{t}}+c_i \nabla{f_i}=\frac{1}{\tau}\left(f_i^{eq}-f_i\right) $$

ここで、方程式の左辺はストリーミングを表し、右辺は衝突を表します。

$f_i$ は一粒子の位置と運動量の離散確率分布関数( )。$i=1…9$
$c$ は格子速度
$\tau$ は緩和パラメータ
離散化後、方程式は次のように表現できます:

$$ f_i(r+c_i\Delta{t}, t+\Delta{t})=f_i(r, t)+\frac{\Delta{t}}{\tau}\left[f_i^{eq}(r, t)-f_i(r, t)\right] $$

工学における格子ボルツマン法の応用

格子ボルツマン法は、様々なエンジニアリング分野における数値流体力学(CFD)の状況を再定義しました。従来のナビエ・ストークス方程式ベースのシミュレーションとは異なり、LBMは微視的レベルの粒子間相互作用に焦点を当てたメゾスコピックなアプローチを提供します。この特徴的なアプローチはいくつかの利点をもたらし、LBMを多くのアプリケーションにとって画期的なものにしています:

1.建築・土木工学

LBMは、構造物にかかる風荷重の評価、建物の換気システムの最適化、都市の微気候のシミュレーションを支援します。これらの洞察は、持続可能で強靭なインフラ開発を推進します。

アニメーション1: SimScaleでLBMを使用してシミュレーションされた建物周囲の気流

2.環境

LBMは、自然の水域における土砂輸送や汚染物質の拡散のような現象を理解するための比類ない精度を提供します。これは、研究者が環境に優しい戦略や介入策を策定する際に役立ちます。

3.マイクロ流体

LBMの微視的スケールを掘り下げる能力は、マイクロ流体デバイスにおける正確なシミュレーションを可能にします。これは、微小な流体量の正確な制御が不可欠なバイオテクノロジーにおいて、幅広い意味を持ちます。

4.航空宇宙

乱流と航空機表面との相互作用を理解することは、航空宇宙工学において最も重要です。LBMは、このような複雑な流れのダイナミクスを詳細に把握し、最適な設計と安全対策を実現します。

5.石油・ガス

貯留層シミュレーションやパイプラインの流れ解析では、LBMのメゾスコピックな視点が極めて重要な役割を果たします。抽出効率を最大化し、資源の安全な輸送を保証します。

6.自動車

自動車部門は、特に外部空気力学を評価する際に、LBMから多大な恩恵を受けています。精密なシミュレーションにより、メーカーは燃費効率を達成し、車内の快適性を高めることができます。

図3: SimScaleでのトラックモデルのサーフェス解析

SimScaleにおける格子ボルツマン法

非圧縮性LBM解析

SimScaleの非圧縮性LBM解析は、特に大規模な過渡外部空力シミュレーション用に設計されており、マッハ数が0.3以下の場合に最適です。Numeric Systems GmbHのPacefish®として開発されたGPU最適化ソルバーは、SimScaleクラウドネイティブプラットフォーム上で並列実行可能な高速かつ高精度なシミュレーションを実現し、実行時間を数週間から数時間以下に短縮します。

このプラットフォームはCAD準備の重要性を強調し、モデルがLBMシミュレーションに最適化されていることを保証します。境界条件は事前に定義されているため、セットアッププロセスが簡素化され、メッシングアプローチはLBM用に調整されており、立方体要素のみで構成されるデカルトバックグラウンドメッシュを使用します。

高度なLBM機能

SimscaleのLBMは、多様なCADタイプの管理に長けているため、一般的な形状の課題を克服します。Pacefish®ソルバーの統合により、幅広い乱流モデリングオプションが導入されました。特筆すべき機能はレイノルズのスケーリング係数で、実物大の形状にスケーリングを適用し、風洞条件を効果的に再現します。もう一つの特徴は壁処理で、Pacefish®ソルバーはFVMコードよりも壁関数で高い柔軟性を示します。この機能により、SimScale LBMの実装はメッシュ要件が削減され、工業的な問題に適しています。また、このプラットフォームは結果のエクスポート方法も豊富で、ユーザーが必要な洞察を確実に引き出すことができます。

GPUベースのLBMソルバー

Simscaleの最先端ソリューションへのコミットメントの証であるGPUベースのLBMソルバーは、GPUの並列アーキテクチャに最適化されており、仮想風洞解析に優れています。その用途は、都市計画から自動車の空気力学まで多岐にわたります。ソルバーの精度は、その結果を風洞データと整合させるプロジェクトによってさらに強調されています。

図3: SimScaleは、非圧縮性(LBM)解析タイプを含む、様々な用途に応じた様々なシミュレーションタイプを提供しています。

SimScaleでLBMソルバーを使う流れ

SimScaleプラットフォームでLBMを使用する方法を説明します:

CADモデルのインポートと解析タイプの選択
目的のCADモデルをSimScaleにインポートすることから始めます。モデルを設定したら、シミュレーションリストから「非圧縮LBM」を選択してシミュレーションを開始します。
シミュレーションの設定
- 外部流れ領域:
  LBMソルバーが動作する計算領域を定義します。正確な結果を得るためには、適切なサイズを設定することが重要です。
- 材料の割り当て:
  このプラットフォームでは、通常、風解析シミュレーションのデフォルトは空気です。ただし、密度などの特性を変更することができます。
- 境界条件:
  流体領域の境界で流体条件を設定します。SimScaleはデフォルトの条件を提供していますが、シミュレーションのニーズに応じて調整することができます。
- シミュレーションコントロール:
  シミュレーションの終了時間、最大実行時間、速度スケーリングなどのパラメーターを設定します。
- 結果コントロール:
  結果セクションでは、速度分布、風荷重圧力分布、過渡出力など、結果から必要なデータを指定できます。
メッシュ処理:
LBMシミュレーション用に調整されたSimScaleのメッシングツールを利用します。このツールは様々なタイプのCADを扱うことができ、スムーズなメッシングプロセスを保証します。LBMの場合、建物や地形の形状と必ずしも一致しない立方体要素のみで構成されたデカルト背景メッシュが生成されます。

SimScaleが提供する実用的な例の1つに、都市のCADモデル上の風解析があります。このチュートリアルでは、LBMを活用してシミュレーションを実行します。このチュートリアルでは、CADモデルの準備からシミュレーションの設定、メッシュ作成、シミュレーションの実行、結果の解析までをカバーしています。このようなシミュレーションは、都市計画、建築設計、歩行者の風の快適性を理解する上で非常に重要です。建物の向きや緑地の配置、さらには交通の流れに関する意思決定に影響を与えることもあります。

アニメーション3: SimScaleのLBMを使用した都市CADモデルの風解析

LBMソルバーの計算例

SimScaleのプラットフォーム上のいくつかのプロジェクトでは、様々な用途にLBMを活用しています。ここでは、その中から注目すべきものをいくつかご紹介します:

自動車空力 - LMP1カー

このプロジェクトでは、LBMを使用してLMP1レーシングカーの空力特性を評価しました。

テスラサイバートラックの空力解析

Tesla Cybertruckの空力特性を解析し、その設計効率に関する洞察を提供します。

図4: SimScaleの非圧縮LBMを使用したTesla Cybertruckのシミュレーション結果

トロントの風環境

トロント・フォーシーズンズ地域の風環境をシミュレーションしました。こういった結果は、都市計画や建築の検討に役立ちます。

図5: SimScaleのLBMを使用したトロントフォーシーズンズビル周辺の風解析

自然換気 - 百貨店/ショッピングモール

このプロジェクトでは、LBMを使用して大規模な商業空間の自然換気を解析し、HVAC設計とエネルギー効率の向上に役立てています。

図6: 再循環エリアを特定するデパート周辺の風の流れ

歩行者の風の快適性ロンドン

都市計画者にとって不可欠な研究であるこのプロジェクトでは、LBMを使ってロンドンの歩行者エリアの風の快適性レベルを解析しています。

図7: ロンドンのウォーキートーキービル周辺における風の快適性調査

SimScaleの強み

日進月歩の計算シミュレーションにおいて、プラットフォームは技術的に高度であると同時にユーザーフレンドリーである必要があります。ここでは、SimScaleが多様なエンジニアリングアプリケーションに対応するLBMの機能をどのように向上させるかをご紹介します:

1. クラウドベースのアーキテクチャ

SimScaleの最大の特徴の1つは、クラウドベースのアーキテクチャです。つまり、ハイエンドのハードウェア要件を心配する必要がありません。SimScaleを使用すれば、いつでもどこでも、どのデバイスからでも複雑なLBMシミュレーションを実行できます。また、クラウドベースのアプローチにより、チーム間のコラボレーションが容易になり、シミュレーションのワークフローが合理化されます。

2. 直感的なインターフェース

LBMは概念的に困難な場合がありますが、SimScaleは直感的なユーザーエクスペリエンスを保証しています。ユーザーフレンドリーなインターフェースにより、エンジニアは急な学習曲線なしにシミュレーションの設定、実行、解析を行うことができます。これにより、設計サイクルの早い段階から、また業界を問わず、LBMの導入が加速されます。

3. 堅牢なポスト処理ツール

シミュレーションの真の価値は、そこから得られる洞察にあります。SimScaleにはポスト処理ツールも統合されており、流れの可視化、乱れの分析、境界条件の評価など、すべてがより直感的かつ詳細に行えます。

4. 多様な材料とモデルのライブラリ

SimScaleのライブラリには、さまざまな材料とモデルが含まれています。マイクロ流路内の流体の流れや高層ビル周辺の乱流風のシミュレーションなど、SimScaleはお客様のニーズにお応えします。

5. 費用対効果の高いソリューション

SimScaleの価格モデルは、最大の価値を提供するように調整されています。SimScaleは、製品設計に着手する新興企業であっても、研究開発の強化を目指す既存企業であっても、LBMの可能性を最大限に活用するための費用対効果の高いソリューションを提供します。

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参考

https://link.springer.com/referenceworkentry/10.1007/978-3-319-08234-9_107-1
https://www.annualreviews.org/doi/10.1146/annurev.fluid.30.1.329
https://www.semanticscholar.org/paper/Lattice-Boltzmann-Method-for-Fluid-Simulations-Bao-Meskas/958ff187b47a49c7aad9b0cbbadaf225915e1dd6
https://www.semanticscholar.org/paper/Lattice-Boltzmann-Method-for-Fluid-Simulations-Bao-Meskas/958ff187b47a49c7aad9b0cbbadaf225915e1dd6

2024年5月9日