メッシュとは、有限要素解析(FEA)や数値流体解析(CFD)におけるシミュレーションプロセスの基本要素の1つです。セルと点(またはノード)で形成される空間を離散化して得られるネットワークです。メッシュの形状やサイズはほとんど自由で、偏微分方程式を解くために使用されます。メッシュの各セルは方程式の個々の解を表し、個々の解を全体で組み合わせるとメッシュ全体の解になります。

オブジェクト全体を分割せずに解くことは、オブジェクトが複雑であるため不可能です。穴、角などはは、ソルバーが解を得ることを非常に難しくします。一方、小さなセルで分割することで解が得やすくなります。

メッシュ生成とは？

メッシュ生成とは、形状を離散化し、シミュレーションで解析するために、2Dまたは3Dのグリッドを生成する方法です。グリッドは形状の複雑さに応じて定義されます。

メッシュとメッシュ生成技術の歴史は、数値計算手法の歴史と密接な関係があります。Courant, Friedrichs, and Lewyによる論文¹は有限差分法(FDM)の出発点であり、CFL(Courant-Friedrich-Lewy)安定条件などの概念が登場しました。

歴史的に、矩形格子や直交格子は、変数の振る舞いを近似するために隣接するセルや節点の情報を用いるため差分法と関連しています。しかし、有限要素法(FEM)では、メッシュセルの種類が混在できるようになり、非構造メッシュが実現可能になりました。問題を数値的に解くために使用される変分公式は、19世紀末から20世紀初頭にかけてのLord RayleighとRitzの研究にまで遡ることができます²。

メッシュ離散化

偏微分方程式(PDE)を数値的に解くための最初のステップは、方程式の離散化と問題領域の離散化です。前述したように、問題領域全体を一度に解くことは不可能ですが、問題領域の複数の小さな断片を解くことは全く問題ありません。

方程式の離散化プロセスは、有限差分法、有限体積法(FVM)、有限要素法などの手法に関連しており、その目的は連続形式の方程式を代数的差分方程式系として生成することです。領域の離散化プロセスは、離散セルのセットを生成し、連続的な問題領域をカバーする点またはノードを生成します。

図1: 正方形領域の離散化の例(小さな正方形がセル、頂点が節点

メッシュとは、定義上、ネットワークを形成するために接続された点とセルの集合です。このネットワークは様々な形状やトポロジーを持つことができます。メッシュはグリッドとも呼ばれることがありますが、これは一般的にメッシュの本質的な構成や、メッシュが有限差分問題に関連している場合に関係します。

メッシュの各セルまたはノードは，方程式がセルまたはノード上で離散化されているかどうかに応じて，方程式の局所解を保持します．離散化の選択はプロジェクトの決定事項です。

一般的に、点離散化は、方程式が有限差分法を使用して近似される場合に使用され、通常、PDEは各点の近傍でのテイラー級数展開によって近似されます。点離散化は有限体積法と併用されることもありますが、点の周囲に暗黙的にセルを使用する必要があります。

離散化される方程式が弱形、積分形、保存形で考慮される場合、離散セル上で積分を解くのが一般的です。例えば、輸送現象を考える場合、有限体積法は小さな体積を表す離散セルとして定式化することができます。そして、解がセル内部で一定であると仮定しながら、それらのセルを通してフラックスを釣り合わせることができます。

図2: セルの解の例

メッシュの種類

メッシュの種類は大きく構造格子（構造メッシュ）または非構造格子（非構造メッシュ）に分類されます。構造格子は有限差分法と関連の深いメッシュです。

構造格子（構造メッシュ）

構造化メッシュ (一般にグリッドとも呼ばれます) は、隣接するセルと点を簡単に識別できる構造と形成を持つメッシュです。この特性は、構造化メッシュが解析座標系 (長方形、楕円、球形など) 上に適用され、規則的なグリッドを形成するという事実に由来します。

プログラミングの観点から、構造化メッシュを形成するセルまたは点は、隣接するクエリをセルまたは点の座標に対して解析的に行うことができるように列挙することができます。

その最初のセルは、最初の4つの左右の境界セルと一緒に列挙されます。このメッシュは矩形メッシュの例です。セルの隣接を得るのが簡単であることを説明するために、どのセルからでも右の隣接を得るには、その列挙に1を足すだけでよいことがわかります。

同様に、任意のセルから一番上の隣接は、セルの列挙に9を合計することで得られます。

図3: 構造化メッシュのセル間の通信がどのように行われ、シミュレーションがより簡単になるかを示すメッシュ列挙の例

任意の曲線グリッドは、このような座標および隣接システムにマッピングできます。長方形グリッドと曲線グリッドはプログラミングの観点からすれば、基本的に同じ特徴をもちます。

図4: 矩形グリッドと曲線 (円柱) グリッドのマッピング

構造化グリッドは、境界フィットの観点からも定義されるかもしれません。たとえば、直交グリッドは長方形の境界にフィットし、円筒グリッドは円柱の境界にフィットします。

境界フィッティングを混ぜて、境界を定義する多くの異なる曲線またはサーフェスを持つことが可能です。これには、スプラインや NURBS (Non-Uniform Rational Basis Spline) など、パラメータ化可能なあらゆる種類の曲線やサーフェスが含まれます。

図 5: 4 つの任意のスプライン境界の構造化メッシュ

非構造格子（非構造メッシュ）

非構造化メッシュはより一般的で、任意のジオメトリ形状を任意に近似できます。座標と連結性が行列の要素にマップされる構造化メッシュとは対照的に、非構造化メッシュは、隣接行列またはリスト、およびノード座標リストのような特別なデータ構造を必要とします。

図6: 構造化されていないメッシュとその隣接リストの例。明らかに、セル間の通信は単純ではなく、それらの情報を格納する何らかのアルゴリズムが必要になります。

構造化メッシュを生成するのが現実的でない複雑なジオメトリは、非構造化メッシュ技法を使用して離散化できます。

セル タイプは、2 次元セルと 3 次元セルに分けることができます。一般的な 2 次元セル タイプは、三角形と四角形です。一般的な 3 次元セル タイプは、四面体と六面体ですが、ピラミッドやくさびも含まれます。

図7: 一般的な2次元と3次元のセルタイプ。四角形と六面体は構造化メッシュで使われることもあります。

メッシュ セルはコンフォーマルである必要はありません。非適合メッシュは、ぶら下がったノードが発生するメッシュです。

図8: ノードがぶら下がった2次元メッシュ

メッシュリファインメント

非構造メッシュでは、点と隣接は何らかのグローバル構造には従わないため、メッシュセルと点を追加または削除することも可能です。

問題の性質にもよりますが、メッシュリファインメントは、メッシュセルとノードの全体数を制御することで計算コストを低く保ちつつ、正確な解を得るために必要です。一般的に、必要とされるメッシュリファインメント（精密化）の度合いは、解かれる方程式に基づいて推定される誤差に関連します。

メッシュのリファインメントの代表的なものには、下記の手法があります。

• h-type
• r-type
• p-type
• アダプティブメッシュ

h-type リファインメント

セルまたは点の追加によって、エッジの局所的な特性長を減らします。

非構造メッシュでは、セルまたは点の追加は、変更されたセルの再接続を含むので簡単です。

図9: 総面積(または体積)は変わりませんが、節点の数が増加するh-type リファインメントの例

図10: SimScaleでシミュレーションされた製品のメッシュ精密化例。エッジの離散化をより細かくすることで、シミュレーション変数のより正確な値の取得が可能になります。

r-type リファインメント

r-type リファインメントは、メッシュセルと点の移動または変位によって行われます。

図 11 は、たとえば衝撃波の伝播問題に関連する r -typeのメッシュリファインメントの例を示しています。

図11: 節点数が増加しても総面積(または体積)が変わらないr-typeのメッシュリファインメントの例

その他のメッシュリファインメント

他の一般的なメッシュ適応技法には、p-type リファインメントとアダプティブメッシュがあります。有限要素法に関連する p-type リファインメント では、同じメッシュを維持しながら、形状関数の複雑さが増加します。

アダプティブメッシュは、推定された誤差に基づいて新しいメッシュを生成します。これにより、全体的なメッシュ品質が最良になり、使用される計算点が少なくなります。一方、メッシュ再生成の計算コストは増大します。

Animation 1: アダプティブメッシュの例