静磁場解析とは何か？マクスウェル方程式やローレンツ力との関係、磁化の種類、B-H曲線、ヒステリシス、各種応用までを図解でわかりやすく解説します。

静磁場解析の世界 ― 時間的に変わらない磁場が導く技術と原理の探究

静磁場は、時間的に変化しない、またはほぼ一定の電流や磁化を扱う際に、磁場を記述するためのモデルです。
このモデルは、ある種の電磁場シミュレーションの基礎となっており、HDDなどの磁気記録デバイスから大型モーターに至るまで、さまざまな重要な応用に関する多くの課題に対して有効な答えを提供してくれます。

そのため、本記事ではこの静磁場モデルについて詳しく見ていきます。

マクスウェル方程式とローレンツ力

電荷を帯びた物体や電流を流す物体 (すなわち移動する電荷) は、互いに接触することなく影響を及ぼし合う性質を持っています。
この直接接触しない影響を説明するために使われるのが、電磁場という概念です。空間の各点$x$と任意の時刻$t$において、電場ベクトル $E(x, t)$と磁場ベクトル $B(x, t)$ が定義されます。
ここで、$E$は電場の強さ (electric field strength)、$B$は磁束密度 (magnetic flux density) または磁気誘導 (magnetic induction) と呼ばれます。

$E$と$B$が既知であれば、電荷密度 $\rho$や電流密度ベクトル$J$といった空間内の電荷分布に対する単位体積あたりの力を、ローレンツの法則を用いて計算することができます。

つまり、ローレンツ力は、静止している電荷にも、運動している電荷にも作用し、静電場による影響だけでなく、運動する電荷や時間的に変化する電場によって生じる磁場の影響も受けます。
この力は、電磁場中における電荷粒子の運動を支配する基本的な力として、極めて重要な役割を果たします。

$$\begin{equation} \mathbf{f} = \rho\, \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}\, \end{equation}$$

しかし、物質が存在する環境では、電場$E$や磁束密度 $B$を直接扱うことは容易ではありません。
その一因は、これらの場の一部が、外部から加わる電磁場に対する物質内部の微視的な電荷や電流の応答として発生しているためです。こうした結合した電荷キャリアは、非常に小さな作用範囲しか持ちません。もう一方の成分は、いわゆる自由電荷および自由電流によって構成されます。たとえば、導体中を流れる電子の流れは自由電流の一例です。これらの自由電荷や電流については、その分布や大きさを事前に仮定しやすいという利点があります。

このような事情から、実用的な計算では、空間的に平均化された巨視的な電磁場を用いるのが一般的です。物質内部で発生する微視的な電荷のずれや電流の効果は、それぞれ電気分極$P$と磁化 $M$ という形で表現されます。

さらに、自由電荷 $\rho_{free}$ および自由電流 $J_{free}$ のみによって生じる、2つの補助的な物理量が導入されます。
それが、電束密度 $D$と、磁場の強さ $H$です。

このとき、空間的に平均化された電場 $E$ および磁束密度 $B$ は、以下のように自由な電荷・電流に起因する成分と、物質内部の微視的に束縛された電荷・電流に由来する成分の2つに分けて表されます:

$$\mathbf{B} = \mu_0\, (\mathbf{H} + \mathbf{M})$$

$$\mathbf{E} = \epsilon_0^{-1}\, \mathbf{D} – \mathbf{P}$$

定数$\mu_{0}$と$\epsilon_{0}$は、それぞれ真空の透磁率と真空の誘電率を表します。SI単位系では、それぞれ次の式で表されます。$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}~\mathrm{\frac{V\,s}{A\,m}}$と$\epsilon_0 = \frac{1}{\mu_0c^2} \approx 8.85 \times 10^{-12}~\mathrm{\frac{A\,s}{V\,m}}$。ここで$c$は真空中での光速です。

このとき、(巨視的な)マクスウェルの方程式は、自由電荷の存在や流れに対して電磁場がどのように応答するかを示しています:

$$ \nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}_\textrm{free} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} $$

\[\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\]

\[\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_\textrm{free}\]

\[ \nabla\cdot\mathbf{B} = 0\]

最初の式はマクスウェル・アンペールの法則と呼ばれ、2番目の式はファラデーの法則と呼ばれます。残りの2つの式は、それぞれ電場に関するガウスの法則および磁場に関するガウスの法則と呼ばれます。

これらの方程式は、$B$と$H$、$E$と$D$ および$J$ の間の関係を定める構成方程式 (構成則) によって補完されます。こうした巨視的な法則を用いることで、物質内部の微視的な電荷や電流の詳細な追跡を行う必要はなくなります。
単純な物質に対しては、次のような関係が近似的に成り立ちます：

$$\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}$$

$$\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}$$

$$\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}\; \text{(オームの法則)}$$

ここで:

$\sigma$: 電気伝導率 (electric conductivity)
$\epsilon=\epsilon_{0}=\epsilon_{r}$: 誘電率 (permittivity)
$\mu=\mu_{0}=\mu_{r}$: 透磁率 (permeability)

このとき、$\epsilon_{r}$ (比誘電率) と$\mu_{r}$ (比透磁率) は無次元量であり、物質の種類によって異なる定数です。真空中または空気中で近似する場合は、$\mu_{r}=\epsilon_{r}=1$ とされます。

これはあくまで最も単純な場合であることに注意してください。一般には、$\epsilon$ (誘電率) や$\mu$ (透磁率) はテンソル (行列表現) となり、それぞれ位置$x$や時間$t$に依存することもあります。この点については、後述のセクションで詳しく説明します。

マクスウェル方程式は、アンテナや携帯電話の電波伝搬から、大型発電機や高電圧送電線に至るまで、あらゆる電磁現象を記述する普遍的な法則です。ただし、場合によっては、計算を高速化・簡略化するため、あるいは必要な入力データを減らすために、マクスウェル方程式を適切に単純化することが推奨されるケースもあります。

静磁場近似

マクスウェル方程式において、すべての時間微分項がゼロである、すなわち静的な状態を仮定すると、磁場と電場は互いに完全に切り離され、別々に解くことが可能になります。静電場 (静的な電場) のモデルについては、別のCAE辞典記事で取り上げる予定です。本記事では、磁場の解析に焦点を当てます。
このときに残る方程式は、以下の通りです:

$$\nabla\times\mathbf{H}= \mathbf{J}_\textrm{free} $$

$$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$$

この式は構成方程式によって以下のように補完されます:

$$\mathbf{B} = \mu\, \mathbf{H}$$

または、

$$\mathbf{B} = \mu_0\, (\mathbf{H} + \mathbf{M})$$

ここで、$M$ は磁化 (magnetization)を表します。このセクションで紹介した方程式群は、静磁場モデル (magnetostatic model)と呼ばれます。

このモデルが適用できるのは、以下のような条件が満たされる場合です:

電流密度が事前に既知である
電流密度が時間的に一定、もしくはほぼ一定である
磁場の変化を引き起こすその他の要因 (たとえば、永久磁石の移動など) も変化が遅い

このモデルで記述可能な現象は、静磁現象 (magnetostatic phenomena) と呼ばれます。静磁場モデルは、たとえば電磁石の計算や、「静磁場の応用例」セクションで紹介されているその他の用途に使用できます。一方で、電磁誘導 (例: IHクッキングヒーター) や、波動の伝搬 (例: アンテナ) といった現象には使用できません。これらの場合、マクスウェル方程式から省略された時間変化項が重要な役割を果たすためです。

磁性材料における静磁場解析

静磁場では、磁場および物質が磁場にどのように応答するか、すなわち外部磁場に対してどのような磁化$M$を示すかに着目します。

磁性には、主に次の3種類のタイプがあります：

反磁性 (Diamagnetism)
常磁性 (Paramagnetism)
強磁性 (Ferromagnetism)

このうち、強磁性のみが工学的に重要な意味を持つため、本記事では反磁性と常磁性については簡単に触れるにとどめ、強磁性に重点を置いて解説していきます。

反磁性 (Diamagnetism)

反磁性は、本質的には量子力学的な効果に基づく現象です。ただし、直感的には、外部磁場に対して軌道電子が微小な電流ループとして反応し、逆向きの磁場 (反磁場) を作り出すことで、物質内部の外部磁場を弱めるとイメージすることができます。

この結果、磁場の接線方向に沿った磁力線 (磁束線) は、反磁性体から外へ押し出されることになります。常磁性や強磁性と異なり、反発力が働くのが反磁性の特徴です。

基本的には、すべての物質は反磁性を示します。これは、通常非磁性と考えられている水のような物質にも当てはまります。ただし、反磁性は非常に弱い効果であり、その指標となる比透磁率$\mu_{r}$は、真空の値1よりわずかに小さい値となります。
ここで「わずかに小さい」とは、磁場の影響がごくわずかであることを意味しています。たとえば、水の比透磁率は約 $\mu_r = 1.0\ – 9.1 \times 10^{-6}$です。

この反発的な性質により、物体を磁場中で浮かせる (磁気浮上) ことも理論的には可能です。ただし、それには非常に強い磁場が必要となります。
たとえば、1997年には英国とオランダの科学者たちが、強力な磁場を用いてカエルを空中に浮かせた実験が有名で、その映像が現在でもオンラインで見ることができます。

常磁性 (Paramagnetism)

常磁性は、電子のスピンに由来する現象です。
不対電子 (ペアになっていない電子) は磁気双極子モーメントを持ち、それぞれが微小な磁石のように振る舞います。ただし、通常の状態ではこれらの微小磁石の向きはランダムで、全体としての磁化は観測されません。

しかし、外部磁場が加えられると、これらの微小磁石が磁場の方向にそろいはじめ、物質内部に正味の磁化が生じます。これは、反磁性とは逆で、磁場を物質内部に引き込む効果をもたらします。このため、常磁性体は外部磁場がある場合、互いに引き寄せ合う性質を示します。

ただし、この効果も非常に弱いものであり、比透磁率$\mu_{r}$は真空の1よりわずかに大きい値になります。たとえば、アルミニウムは常磁性体であり、その比透磁率は約$\mu_r = 1.0 + 2.2 \times 10^{-5}$です。

常磁性を示すのは限られた一部の物質のみです。なお、すべての常磁性体は厳密には反磁性でもありますが、常磁性の効果が反磁性よりも強いため、常磁性体と呼ばれます。

強磁性 (Ferromagnetism)

強磁性を示す物質はごく限られており、その代表例が鉄です。常磁性体と同様に、強磁性体にも多くの微小な磁石 (スピン) が存在しますが、それらの向きがバラバラであるため、常に全体としての磁化があるとは限りません。

この微小磁石の集合は、「磁区 (ワイス磁区: Weiss domains)」と呼ばれる領域に由来しています。磁区は、原子や分子よりもはるかに大きな領域であり、その内部ではスピンが整列しています。外部から磁場をかけると、これらの磁区が拡大し、より多くのスピンがそろって、外部磁場と同じ方向に磁化が誘導されます。

この効果によって磁場は強く引き寄せられ、比透磁率$\mu_{r}$は1より大きくなります。しかも、強磁性の効果は常磁性よりも7桁以上も強力であるため、技術用途で最も重要な磁性材料とされています。

ただし、強磁性体における磁場$H$と磁束密度$B$の関係は単純ではありません。真空中のように一定の透磁率で表せず、透磁率$\mu$は変数であり、かつその履歴 (ヒステリシス) にも依存します。つまり、同じ磁場でも過去の磁化状態によって結果が変わるのです。この関係はヒステリシス曲線 (図2参照) によって表されます。

一方で、外部磁場が強くなると、ほとんどすべての磁区が同じ方向に揃い、それ以上の成長ができなくなります。この状態を磁気飽和 (saturation) と呼びます。飽和後に磁場をさらに強くしても、それに応じた磁束密度の増加は見られず、以降のカーブの傾きは真空中の値に近づきます。

他方、外部磁場を取り去った後でも、一部の磁区は揃ったままの状態を保ちます。このとき物質内には残留磁化 (remanence) が生じ、それに対応する磁束密度は残留磁束密度 (remanent flux density) と呼ばれます (この関係は図2でも確認できます)。

もうひとつ重要な値として、保磁力 (coercivity) または 保磁界 (coercive field strength) があります。これは、物質が外部磁場に対して消磁されずにどの程度耐えられるかを示す指標です。

この保磁力が高い強磁性体は、硬性材料 (hard magnetic materials) と呼ばれ、永久磁石の材料として利用されます。一方、保磁力が低い材料は軟磁性材料 (soft magnetic materials)と呼ばれ、変圧器、モーター、記録ヘッド、磁気シールドなどで磁場を制御・誘導するために使用されます。

軟磁性体の場合、ヒステリシス曲線は単純化され、B-H曲線として表されることがあります。この場合、材料の挙動は過去の履歴に依存しないと見なされます。

あらかじめ動作点が線形と見なせる範囲内にあることがわかっている場合、一定の透磁率$\mu_{r}$だけでその強磁性体を記述することが可能です。このときの代表的な透磁率の値は、200〜10000の範囲です。

**図3：B-H曲線**
磁束密度Bと磁化Hの関係を通じて、材料の磁気的挙動 (飽和を含む) を表したグラフです。

磁場を求めて何に活用するのか？

静磁場を解析して求めたあと、それをどのように活用するかは、用途や解決したい問題によって異なります。

磁場そのものに興味がある場合

たとえば、磁場そのものが重要な場合もあります。

代表的なのが磁性コア (磁束を伝導させるための構造部品) の設計で、飽和に達していないかどうかを確認したい場面です。
また、磁気シールドの設計も該当します。特定の部屋や空間において、磁場の強さをある基準値以下に抑えることで、測定精度や人への影響を回避する必要があります。

多くの場合は、磁場よりも「何ができるか」に注目する

とはいえ、磁場そのものに興味があるケースは少数派です。
多くの場合は、以下のような磁場から得られる情報や効果に注目します：

静磁エネルギー (またはより広く磁気エネルギー) をどれだけ蓄積できるか
電磁コイル同士がどの程度結合しているか (磁気結合)
→ こうした評価には、磁束 (magnetic flux) 、インダクタンス (inductance)、結合インダクタンス (coupling inductance) といった指標が使われます。

回路モデルとして活用する (ROM)

たとえば、ある装置や構成のインダクタンスを求めたら、それを用いて回路レベルのシミュレーションで「集中定数素子」として扱うことができます。
これは、より大きなシステムに対して簡略化モデル (Reduced Order Model, ROM) として使うためのパラメータ抽出の一種です。

磁気力・トルクの算出

最後に、モーター、リレー、アクチュエーターなどの電磁機器において、磁場から生じる力やトルクを計算することも、極めて重要な応用です。

静磁場の応用分野

静的な磁場に特化した電磁気学の一分野である静磁場解析 (magnetostatics) は、工学や科学において非常に多くの重要な応用を持っています。
以下に、静磁場の知識や解析が特に有効とされる代表的な応用分野を示します。

※なお、これらの応用の中には、静磁場解析だけでは電磁設計の要件をすべて満たせないケースもあることに注意が必要です。

主な応用先:

直流機 (DCモーター、DCジェネレーター)
電磁ブレーキおよびクラッチ
リニアアクチュエーター・回転アクチュエーター
スピーカー (音響デバイス)
磁気軸受 (マグネティックベアリング)
磁気浮上装置 (リニアモーターカーなど)
磁気記録 (ハードディスク、磁気テープなど)
MEMS (微小電気機械システム)
モーターおよび発電機 (回転電機)
MRI (磁気共鳴画像診断)
永久磁石モーター
リレー (電磁リレー)
ソレノイド (電磁石を用いた駆動素子)
磁気センサー (位置・速度・電流などの検出)

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SimScaleにおける静磁場シミュレーション

SimScale上で実施された静磁場解析の事例をいくつか紹介します。

リニアソレノイド (アクチュエーター)

リニアソレノイドとは、磁場の力を利用して直線運動 (押す・引く) を生み出す電磁デバイスです。設計者やエンジニアは、以下の要素を調整することで、リニアソレノイドのストローク長 (移動距離) を最適化できます：

コイルの巻き数
コアおよびコイル材料の物性
印加電流

これらのパラメータを適切に設計することで、磁場の分布や強さをコントロールし、用途に応じたストローク特性を実現できます。このようなリニアソレノイドは、バルブ、電子錠、アクチュエーターなど、直線運動が求められる多様な機器に利用されます。

以下は、SimScaleの静磁場シミュレーションによって得られた磁場分布を示す図です。リニアソレノイド内部の磁場の広がりや特性を視覚的に確認することができます。

アニメーション1: 磁磁場解析で得られた力を用いて、リニアアクチュエータのストロークを推定した静解析

スイッチト･リラクタンス･モーター (SRM)

スイッチト・リラクタンス・モーター (SRM) は、可変磁気リラクタンスの原理に基づいて動作する特殊なタイプの電動モーターです。従来のモーターが永久磁石や電磁界を利用してトルクを発生させるのに対し、SRMではローターとステーター間の磁気経路のリラクタンス (磁気抵抗) の変化を利用して回転運動を生み出します。

SRMの主な欠点の一つは、トルクリップルの存在です。これは、モーターの動作中に電流が急激にスイッチングされることにより発生し、振動や騒音の増加、機械的ストレスの発生などの課題を引き起こします。そのため、追加の制御戦略が必要となる場合があります。

磁静解析を活用することで、SRMのトルク発生メカニズム、トルクリップルの影響、運転条件ごとの効率などを包括的に把握することが可能です。また、磁気回路の最適化 (ステーター・ローター形状、磁性材料の選定、巻線構成の調整など) にも有効です。