熱伝導とは、温度差による熱(熱エネルギー)の流れ、およびそれに続く温度分布と変化を説明するものです。

熱の輸送は、伝導、対流、輻射(または放射)という形で運動量、エネルギー、質量の交換に関係します。これらの過程は数式で記述することができます。

これらの公式の基礎は、運動量、エネルギー、質量の保存則と構成則の組み合わせにあります。構成則は、これらの現象に関与する量の保存だけでなく、フラックスも記述する関係です。この目的のために、微分方程式は、可能な限り最良の方法で前述の法則と構成関係を記述するために使用されます。これらの方程式を解くことは、システムを調査し、その挙動を予測するための効果的な方法です。

図1: 温度分布を示すSimScaleのヒートシンク冷却シミュレーション

熱伝導 - 研究の歴史

熱力学の第二法則の結果として、外部からの働きかけがなければ、熱は常に高温の物体から低温の物体へと流れます。この熱の移動を伝熱と呼びます。

19世紀初頭、科学者たちは、すべての体にはカロリック(高温の物体から低温の物体へと流れると考えられている質量のない流体)と呼ばれる目に見えない流体が存在すると考えていました。カロリックには性質が与えられていましたが、そのうちのいくつかは自然界と矛盾していることが判明しました(例えば、カロリックには重さがあり、創り出すことも破壊することもできません)。例えば、私たちの手をこすり合わせると、最初は両手の温度が低かったにもかかわらず、両手が温かくなります。もし熱の原因が流体であったなら、熱はよりエネルギーの高い(熱い)体から、よりエネルギーの低い(冷たい)体へと流れるはずです。

トンプソンとジュールは、この熱量理論が間違っていることを示しました。熱はもともと理論されていたような物質ではなく、分子レベルの運動エネルギーの一形態でした(いわゆる運動論)。先ほどの例で手をこすり合わせているのは、摩擦によって運動エネルギーが熱に変換されたからです。

このような熱の流れは、自然界では常に物体の間で起こっています。以下にいくつかの例を示します:

• 冷房の効いた部屋で、暖かい体から冷たい空気へと熱が伝導される、または流れます。
• わずかな温度変化により、空気の浮力による運動(対流運動)が室内を循環します。
• 太陽は、その非常に高い温度により、周囲の広大な真空空間に熱を伝播または放射します。

これらの例は、次のセクションで説明する熱伝導の3つのモー ドを強調するものです。

熱の流れがない唯一の系は、均等なエネルギー分布で等温であり、周囲の他の系から完全に絶縁されていなければなりません。このような条件を実世界で再現することは不可能です。

伝熱の種類

熱の流れには3つの形態があります:

• 伝導
• 対流
• 輻射または放射

図2: 火にかけた鍋が温まるときに同時に起こる伝導、対流、輻射

以下に、それぞれの熱伝導方法について、それぞれの現象に対応する理論とともに詳しく説明します。

伝導

伝導の基本はフーリエの法則です。1822年にジョセフ・フーリエが熱伝導の完全な理論を定式化しました。

フーリエの法則は、熱伝導から生じる熱流束(\(q\) )は温度勾配の大きさに正比例し、熱流の方向は温度勾配に対して負の方向であると述べています。

$$ q = -k \frac{dT}{dx}$$

この比例定数\(k\) は熱伝導率と呼ばれ、その単位は\(\frac{W}{m*K}\) または\(\frac{J}{m*s*K}\)です 。

熱流束はベクトル量です。上の式から、温度が空間的な\(x\) ベクトルで減少する場合、\(q\) は正になります。つまり、\(x\) の正の方向に流れます。\(T\) が\(x\) と共に増加する場合、\(q\) は負になり、負の\(x\)-方向に流れます。いずれの場合も、\(q\) は高い温度から低い温度へと流れます。式(1)はフーリエの法則の一次元定式化です。三次元の等価形は

$$ \overrightarrow{q} = -k \nabla T$$

ここで、\(\nabla\) は勾配を示します。

フーリエの法則は単純なスカラー形式でも表現できます:

$$ q = k \frac{\Delta T}{L}$$

ここで、\(L\) は熱の流れ方向の空間長を表し、\(q\) と\(\Delta T\) は両方とも正の量として書かれます。

気体の熱伝導率は、気体分子を小さな粒子と想像することで理解できます。これらの分子は、下の図に見られるように、ある位置から別の位置へ熱運動によって移動します:

図3: 熱エネルギーが不均一に分布した粒子としてモデル化された気体分子

分子の内部エネルギーは他の分子との衝突によって伝達されます。温度が低く、内部熱エネルギーが低い領域は、温度が高い分子から熱を吸収します。

熱伝導率はこのような想像で説明することができ、気体の運動論[1] を用いて導き出すことができます:

$$ T = \frac{2}{3} \frac{K}{N k_B}$$

理想気体の場合、平均分子運動エネルギーは絶対温度に正比例する」\(^5\) 。熱伝導率は圧力に依存せず、温度の根に比例して増加します。

固体物質の伝導による熱伝達は、より単純です。非金属成分では、熱は格子振動(フォノン)を介して伝わります。フォノンによって伝達される熱伝導率は金属にも存在しますが、伝導熱のより支配的な形態は高伝導率の電子を介したものです。

ポリスチレンやグラスウールのような断熱材の熱伝導率が低いのは、空気(またはその他の気体)の熱伝導率が低いという原理に基づいています。次の表は、一般的に使用される元素/材料とその熱伝導率の一覧です:

類似の定義

熱伝達:
熱流束密度\(\propto\) grad T(熱伝導率)

拡散:
部分電流密度\(\propto\) grad x (拡散係数)

誘導加熱:
電流密度\(\propto\) grad\(U_{el}\) (電気伝導率)

対流

対流は、特に流体に関連した熱伝達のもう一つの形態です。対流は流体の動きによる熱の輸送です。熱を運ぶ流体の動きは、様々な状況によって生じます。

流体の動きがどのように始まるかによって、対流は自然対流と強制対流に分類することができます。

自然対流は、重力の影響下にある温度場が変化する流体の浮力効果によって起こるもので、暖かい流体は上昇し、冷たい流体は密度差によって下降します。

強制対流とは、ファン、ポンプ、吸引装置、風などの外的手段による流体の移動です。

自然対流はその名の通り、自然界であなたの身の回りで起こっていることです。冷房の効いた部屋に座っていると、あなたの暖かい体は伝導によって触れている空気に熱を伝えますが、あなたの周りの暖かい流体は密度が低いため、熱を持つと上昇します。

図4: 暖かい手が冷たい空気に包まれて上昇する空気の熱プルームは、自然対流の一例です[2]

強制対流では、体の周りの流体の動きの原因は、自然界にあるさまざまなものや人工の機械になります。しかし、自然対流とは異なり、流体の運動は対象物体からの流体の加熱によって起こるのではありません。流体運動を引き起こす固体物質の流体中への移動も強制対流と考えることができます。一般的な例を下図に示します。\(T_{inf}\) の温度の冷たい流体が、\(T_{body}\) の温度の暖かい物体を遠くから通り過ぎて流れています:

図5: 温かい身体と冷たい空気の間の熱交換の結果、強制対流による温められた物体の冷却

流体は、物体に隣接して境界層と呼ばれる、動きの遅い薄い領域を形成します。熱はこの層に伝導され、運ばれて下流の流れに混ざります。

アイザック・ニュートン(1701)は対流過程を考え、冷却のための簡単な公式を提案しました:

$$ \frac{dT_{body}}{dt} \propto T_{body} – T_\infty$$

\(T_\infty\) は対流する流体の温度。この式は、エネルギーが身体から流出していることを示唆しています\(^1\) 。

自由対流を定義するニュートンの冷却法則の定常状態は以下の式で表されます:

$$ Q = h(T_{body} – T_\infty)$$

ここで\(h\) は熱伝達率です。この係数は\(\overline{h}\) という棒で表すことができます。 は体表面の平均を表します。\(h\) は棒なしで、係数の「局所的な」値を表します。

自然対流は建物や室内に顕著な温度差を生じさせます。これは、家のある部分が他の部分よりも暖かいためです。強制対流は、より均一な温度分布を作り出し、その結果、家全体に快適な感覚をもたらします。これにより、家の中の寒い場所が減り、サーモスタットを高い温度にする必要性が減ります\(^3\) 。

輻射

輻射とは、2つの物体間の媒体の有無にかかわらず、ある物体から別の物体へエネルギーが伝達または伝播する現象です。これは伝導や対流とは対照的で、熱は体内や体を通って伝わります。

流体であれ固体であれ、すべての物体は常に電磁放射によってエネルギーを放出しています。このようなエネルギー流束の強さは、物体のいくつかの特性に依存します。輻射の一例である熱輻射は、特に熱エネルギーの伝達を表します。熱輻射は、体温と体表面の特性に依存します。

対流や伝導に比べ、接触する機会の多い比較的低温の物体からの輻射伝熱は無視されることがよくあります。高温で起こる伝熱プロセスには、かなりの割合で輻射による伝熱が含まれます。

電磁放射は、光子の流れとして見ることができ、それぞれが波のようなパターンで移動し、光速で移動し、エネルギーを運びます。電磁放射は、物質のない真空を横切ってエネルギーを伝達することができます。異なる電磁放射は、その中の光子のエネルギーによって分類されます。光子のエネルギーについて話す場合、光の「粒子と波動の二重性」と呼ばれる波動または粒子の挙動になることを覚えておくことが重要です。

電磁(EM)スペクトル:
このスペクトルは、あらゆる種類の電磁放射の範囲です。簡単に言えば、放射線とは、可視光線、電波、X線、ガンマ線、マイクロ波、赤外線など、さまざまな電磁波の形でエネルギー源から放出される光子のように移動し、広がっていくエネルギーのことです\(^3\) 。

それぞれの放射エネルギーには波長(\(\lambda\) )と周波数(\(\nu\) )があります。EM 放射エネルギー、波長、\(\lambda\) および周波数、\(\nu\) の関係は、以下の式で記述できます:

$$ \lambda = \frac{c}{\nu}$$

エネルギーはプランク定数×周波数、または

$$ E = h*\nu$$

で表されます。

ここで\(h\) はプランク定数\((6,626 070 040 * 10^{-34} Js )\) です。

下の表は、波長範囲にわたる様々な形態を示したものです。熱放射は0.1-1000\(\mu m\) 。

放射線を放出できる物体\((\dot{Q_E})\) は、放射線を反射\((\dot{Q_R})\) 、透過\((\dot{Q_T})\) 、吸収\((\dot{Q_A})\) することもできます。

図6: 放射、透過、吸収、反射を伴う体内の放射線

$$ \dot{Q} = \dot{Q_A} + \dot{Q_T} +\dot{Q_R}$$

$$ 1 = \frac{\dot{Q_A}}{\dot{Q}} + \frac{\dot{Q_T}}{\dot{Q}} +\frac{\dot{Q_R}}{\dot{Q}}$$

$$ 1 = \alpha^S + \tau^S + \rho^S$$

ここで

$$ \alpha^S は\text{Absorptance}$$

$$ \tau^S は\text{Transmittance}$$

$$ \rho^S は\text{Reflectance}$$

です。

さまざまな材料は、その放射線特性によって次のように分類されます:

黒体:
\(\quad\) \(\alpha^S = 1\) \(\quad\) \(\rho^S = 0\) \(\quad\) \(\tau^S = 0\)

灰色体:
\(\quad\) \(\alpha^S, \rho^S\) および\(\tau^S\) すべての波長に対して均一。

鏡面体:
\(\quad\) \(\alpha^S = 0\) \(\quad\) \(\rho^S = 1\) \(\quad\) \(\tau^S = 0\)

不透明体:
\(\quad\) \(\alpha^S + \rho^S = 1\) \(\quad\) \(\tau^S = 0\)

透明体:
\(\quad\) \(\alpha^S = 0\) \(\quad\) \(\rho^S = 0\) \(\quad\) \(\tau^S = 1\)

黒体輻射とは、熱力学的に平衡状態にある物体または系が、入射する輻射をすべて吸収し、特 徴的な、温度に依存するスペクトルのエネルギーを放出することを指します。この挙動は、この放射系に特有であり、入射する放射の種類には依存しません。\(^4\) 。

ステファン・ボルツマンの法則:
黒体放射体が単位面積当たり1秒間に放射する熱エネルギーは、絶対温度の4乗に比例し、次式で与えられます:

$$ \frac{P}{A} = \sigma T^4$$

ここで、\(\sigma\) はシュテファン・ボルツマン定数で、自然界の他の定数から導くことができます:

$$ \sigma = \frac{2\pi ^5 k^4}{15c^2 h^3} = 5.670373 * 10^{-8} \quad Wm^{-2}K^{-4}$$

理想放射体以外の高温物体では、法則は次のような形で表されます:

$$ \frac{P}{A} =e \sigma T^4$$

ここで、\(e\) は物体の放射率(\(e\) = 理想放射体では1)。高温の物体が温度\(T_c\) でより低温の周囲にエネルギーを放射している場合、正味の｜link3｜率は次のような形になります:

$$ P = e\sigma A(T^4 – T^4_c)$$

支配方程式における温度の4乗により、放射は非常に複雑で高度な非線形現象になります\(^5\) 。

参考

1.  https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_theory_of_gases
2. Gary Settles, CC BY 3.0, via Wikimedia Commons
3.  https://imagine.gsfc.nasa.gov/science/toolbox/emspectrum1.html
4.  http://scienceworld.wolfram.com/physics/Blackbody.html
5. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/stefan.html